［收稿日期］ 2006-10-20
［作者简介］ 童守军（1940-），男，湖南常德人，湖南涉外经济学院清水湖校区数学高级教师。
激发创造性思维，催开创新之花
——谈数学教学对学生创造性思维的培养
童守军，吴力波，叶爱芳
（湖南涉外经济学院，湖南长沙 410205）
［摘 要］ “创新，最根本的一条，就是靠教育，靠人才”,创造性思维关系到创新能力的培养，关系到人才的培养。数学教学是培养学生创造性思维的重要“渠道”之一，重要“基地”之一。教师应发挥主导作用，注重培育学生的主动精神，培养学生创新性思维能力，即培养学生的聚合思维能力，发散思维能力和直觉思维能力。
［关键词］ 创新性思维；聚合思维；发散思维；直觉思维
Inspire Creationary Thinking, Blossom out Innovation Flower
——Talk about the Effect of Mathematical Teaching
in Student’s Creationary Thinking Training
TONG Shou-jun，WU Li-bo，YE Ai-fang
（Hunan International Economics University, Changsha 410205, China）
Abstract:“The root of innovation rely on education and person with ability ”, creationary thinking affect training of innovation ability and person with ability mathematical teaching is one of the most important approach and base of student’s creationary thinking training Teachers must play the leading function, pay attention to train students’ initiative spirit and creationary thinking ability, namely training students’ aggregate thinking ability, emanative thinking ability and intuitional thinking ability
Keywords:creationary thinking；aggregate thinking；emanative thinking；intuitional thinking
人类社会发展进步的历史就是不断创新的历史，随着科学技术的日益迅猛发展进步，人们越来越深切地认识到创新的重要。
江泽民同志在全国科学技术大会上指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。如果自主创新能力上不去，一味靠技术引进，就永远难以摆脱技术落后的局面。一个没有创新能力的民族，难以屹立于世界先进民族之林。”
胡锦涛同志2006年6月在两院院士大会的讲话指出：“在尊重教师的主导作用的同时，更加注重培育学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维。”
创造性思维关系到创新能力的培养，关系到人才的培养，因为创造性活动离不开创造性思维，创造性活动的成果都是创造性思维的结晶。所以提高创新能力的关键和核心是发展、培养、激发创造性思维。
数学教学是培养学生创造性思维的重要渠道，应该注重培养学生的创造性思维能力。创造性思维主要有“聚合思维”、“发散思维”、“直觉思维”。
一、培养“聚合思维”能力 克服“思维定势”消极影响 “聚合思维”也叫“求同思维”、“辐合思维”或“集中思维”，是从已知条件和既定目标中寻求唯一答案的一种思维形式。它是利用已有知识经验或传统的方式方法，有方向性、范围性、程序性地去思考问题和解决问题。如，求函数的值域，其目的性、方向性很明显，但程序因题而异。这就要发挥教师的主导作用，在教师的启发下，帮助学生观察、分析、类比、综合，从而“整合”出各种不同的程序，不同的方法。（1）常用基本函数的值域要求学生在理解的基础上牢牢记住；（2）直接分析观察求值域；（3）反函数法求值域；（4）换元法求值域；（5）配方法求值域；（6）不等式法求值域；（7）判别式法求值域；（8）利用函数的单调性求值域；（9）数形结合法求值域等。
掌握了这一套程序和方法，虽不能解决所有的类似问题，但使学生初步掌握了思维的方向，对提高解题能力有很大帮助。
思考同类问题或类似问题形成定型化思维程序或思维模式化，即通常所讲的“思维定势”。“定势思维”是人们思维中不可缺少的一种思维状态。教学中应把定义、定理、公式、法则、方法、技能、常见思路、常用技巧转化成学生自己的定势思维。在解决问题时使他们能根据条件迅速反应而不需要再去寻觅那些关系或规律。
“思维定势”有利于常规思考，碰到同类或相似问题能省出很多摸索、试探的步骤，能不走或少走弯路，从而缩短思考时间，提高思考的质量和成功率，有利于举一反三，触类旁通，高效率地理解和解答学习中碰到的问题。所以培养聚合思维能力，就要对所学基础知识，基本技能加深理解加强记忆，就要多训练，多归纳总结规律，形成必要的“思维定势”。
但是“思维定势”却不利于创新思维，由于长期进行聚合思维的训练，往往会造成思维不灵活，思路单一刻板，对熟悉的问题寻求新的解决问题的办法或者碰到新的问题想出最佳方案解决都因“思维定势”的束缚，陷入旧的思维程序和模式而不能进行新的探索和尝试。
例如问由两个阿拉伯数字“1”所组成的最大的数是多少？学生立即回答“11”。如果又问由三个“1”所能组成最大的数是多少？学生迅速回答：“111”。如果再问；由四个“1”所能组成的最大的数是多少？很多同学类推出答案：“1111”。而正确的答案应该是1111（11的11次方）。为什么会出现1111这样的错误答案呢？因为在上述思维过程中学生已形成了一种思维定势，起到了消极影响作用。
为了克服思维定势的消极影响，必须帮助学生多作一些纠错练习，正误辨析，提高辨证思维能力和判断能力。
例求函数y=sin2xcos2x+1sin2xcos2x的最小值。
学生受“判别式定势”影响得错解（1）:将原式变形为
(sin2xcos2x)2-(sin2xcos2x)y+1=0
(1)
sin2xcos2x是实数，∴Δ=y2-4≥0,y≥2或y≤-2,
∵y＞0,y≤-2应舍去，∴ymin=2
学生受“重要不等式定势”的影响产生错解（2）
y≥2sin2xcos2x·1sin2xcos2x=2
∴ymin=2
学生受“配方法定势”的影响自然产生错解（3）
y=sin2xcos2x+1sin2xcos2x
=sinxcosx-1sinxcosx2+2≥2
∴ymin=2
三种错误解法都是受思维定势的消极影响产生的。解法（1）的错误是混淆了“充分条件”和“必要条件”的缘故，事实上，当sin2xcos2x∈(0,14］时（1）式的Δ≥0，反之当（1）式的Δ≥0时，不一定保证：sin2xcos2x∈(0,14］，即Δ≥0仅是方程（1）在上有实根的必要条件但不是充分条件。解法（2）、解法（3）等号成立的条件是sin2xcos2x=1sin2xcos2xsin2xcos2x=1，因为sin2xcos2x≤14，这条件显然不可能成立。
正确的解法：∵sin22x＞0，∴sin22x∈（0，1］,
又∵sin2xcos2x=14sin22x≤14,
∴sin2xcos2x∈(0,14］，
令t=sin2xcos2x，t∈（0,14］
∴y=t+1t在(0,14］上是减函数，即ymin=174。
要克服思维定势的消极影响，就要培育学生的主动学习精神与独立思考的能力，让学生从不同的角度多方位考虑问题，拓展思维的深度和广度。
二、鼓励“发散思维”
“发散思维”又叫“求异思维”或“扩散思维”。它是一种从多方推测、假设和构想中来探寻答案的创造性思维形式。它比正常的逻辑思维更生动、更活泼、更富有创造性。
我国古代两个被传为佳话的神童小故事：“曹冲称象”、“司马光砸缸”就是“发散思维”的实例。曹冲用的是“等值变换”法——石头（重量与大象重量相等）和大象进行了互换——这一灵活“变通”，使得本来难以解决的问题便迎刃而解，曹冲通过创造性的联想完成了概念的转移，将不可“分割”的大象转换为可以“分割”的石头。当小朋友掉进水缸里的时候，习惯的思维定势是：只想到将小孩从水缸中捞出——“使人离开水”。司马光却反其道而行之——“使水离开人”，于是灵机一动，以石击缸，水流走了，小朋友得救了。“人离开水”和“水离开人”效果一样。这里司马光运用了倒过来想的思考方法，即运用“逆向思维”，使问题圆满解决。
无论是“等值变换”、“概念转移”，还是“逆向思维”，都是思维的发散，都是创造性思维“变通性”的反映。
在数学教学中如何启发学生多方位思考，朝四面八方想，激发学生的“发散思维”，这就要求教师教学生学会分析、综合、演绎、归纳、比较、联想、移植、转化、代换、颠倒、重组、放大、缩小等思维方法和技巧，形成一种多维的立体思维，从而克服单向的静态的平面思维。
数学解题教学是运用这些思维方法和技巧形成“立体思维”克服“平面思维”的最好途径，也是发展“发散思维”的最好平台。
如一题多解，就能激发学生尽可能地从不同角度审视分析问题，应用不同知识思考问题，既要注意所学知识前后联系，又要突出各科知识横向综合应用，用不同的方法解决问题。经过经常性的训练，使学生逐渐思路顺畅、反应迅速。一题出来，能很快“发散”、思如潮涌、一气呵成。从而培养其思维的“流畅性”。
例：已知a,b,m都是正数，且a＜b，求证：a+mb+m＞ab。
除了高中代数课本上讲过的比较法，分析法之外，还有其他各种方法。
比如，构造函数法
设f(x)=a+xb+x则f(x)=1+a+bb+x，
∵a＜b,即a-b＜0，
∴f(x)在［0,+∞］上递增，而m∈(0,+∞)，
从而，f(m)＞f(0)
即a+mb+m＞ab
又比如，增量法
∵a＜b，设b=a+δ，则δ＞0
∴b+ma+m=a+δ+ma+m=1+δa+m，
ba=a+δa=1+δa，
由m,a,δ均为正数，可知：δa+m＜δa，从而b+ma+m＜ba，∴a+mb+m＞ab
此外，还有几何法、复数法、数形结合法等。这些解法新颖别致，独特简捷，各有特色，是“发散思维”催开的创新之花。
课本上有现成的常见的不等式证明方法——比较法，但“发散思维”不依赖固定的思维程序、思维模式，而作多种摸索，试探，这是它具有“探索性”的思维品质。“发散思维”能“一计不成又生一计”，不断改变思维方向，转换思维机智，随机应变。“发散思维”追求的是创新、别树一帜，总是同中求异，标新立异，另辟蹊径，具有思维的“独特性”，而且富有“开拓性”；“发散思维”能横向扫描，纵向穿越，看问题具有“跨越性”，“深刻性”，能明察秋毫，一针见血。
发展培养“发散思维”能力，就必须培养它的这些思维品质（或特性），即思维的“流畅性”、“探索性”、“变通性”、“独特性”、“深刻性”、“跨越性”、“开拓性”。“发散思维”不是孤立发展的。它是以“聚合思维”为基础的。“聚合”——“发散”——更高层次“聚合”——更高层次“发散”，所以“聚合”与“发散”相互依存、相互促进、相互渗透，是辩证统一的。
三、掌握“联想”金钥匙 开启“直觉思维”大门 直觉思维是人们对事物或问题不经过反复思考的一种直接洞察，是一种非逻辑性思维，是创造性思维活跃的一种表现。
直觉思维具有如下特性：即思维对象的总体性、思维速变的瞬间性、思维主体的顿悟性、思维环节的间断性、思维过程的潜意识参与性、思维结果的猜测性。
爱因斯坦非常重视直觉思维，他认为“真正可贵的因素是直觉思维”。直觉思维的迅速“升华”便是“顿悟”，瞬间的顿悟便是“灵感”。郑板桥也曾对灵感发表感慨：“十日不能下一笔，闭门静坐秋萧瑟。忽然兴至风雨来，笔飞墨走精灵出。”灵感是人的高度积极的精神力量，是一种思维加工的高层次功能，是用脑艺术的最高境界，具有令人惊异的创造魅力。我们平常所说的“奇思异想”、“豁然开朗”、“大彻大悟”、“文思泉涌”都是直觉思维的一种表现，都是“灵感”的魅力的体现。
数学直觉思维不是按照通常的三段论演绎逻辑进行推理的思维方式，从对数学对象的思维过程与结果来说它比较直接、迅速；从表现规则来说它比较“自由”，不受逻辑规则约束，常常是思维操作的压缩与简化，往往构成一种跳跃式的想象与猜测。
如解方程：x2-6x+5=0，学生直接说出答案x=1或x=5。这种跳跃式的数学思维即为数学直觉的一种表现。
例如已知cotα=m(n≠0)，求cosα
常规解法是分α的第一、二象限，第三、四象限按同角三角函数求解，但有个学生灵机一动，巧用定义来解，新颖简捷。
解：由于cotα的值为m，且m≠0，所以角α的终边不在两坐标轴上，设角α的终边上任意点P的坐标为(mk,k)（m为单位长度，k≠0）则r=(mk)2+k2=m2-1｜k｜，并且cotα=xy=mkm=m，于是cosα=xy=mkm2+1｜k｜
=±mm2+1m2+1。
这种解法“直觉”定义，省了过程，避免了繁琐的符号分类讨论，富有创新。
教学中如何培养学生直觉思维能力？要做到讲概念时经常给学生从举出的实例中抽象出它的本质的练习；讲公式和定理时让学生根据某些实例去猜想规律；在得到公式和定理之后让学生自己举例说明这些规律；例题与习题在解答前启发学生去发现解题思路；解答之后培养学生“回味”、“反思”的习惯等等。所有这些会对直觉思维产生效果，因为这些思维过程中都蕴含着丰富的“直觉”成分。
广泛的联想是直觉思维的一个重要方式，“联想是直觉的先导”。联想不是一般的思考，而是思考的延伸，是由此及彼的思考，是创新的“万花筒”。在数学教学中广泛联想是启开“直觉思维”大门的金钥匙，可以为学生的智慧插上矫健的翅膀，也可以为数学解题开拓五彩缤纷的道路。
1直觉理解、联想数形
解题时能以“形”助“数”，由“数”思“形”，数形结合，优势互补可迅速获得创新解题途径。
例：已知a,b∈R，且b2=4a，
求证：(a-2)2+(b-1)2+(a-1)2+b2≥3。
分析：本题用纯代数法证明很茫然，但悉心观察发现不等式左端为两点P(a,b)到A(2,1)、B(1,0)的距离之和，凭直觉b2=4a，可形想象化为顶点（0，0），焦点（1，0）的抛物线（如图（3）），借助几何直观，显然有：
｜PA｜+｜PB｜=｜PA｜+｜PM｜≥｜AM｜=3
2直觉洞察，联想“转换”
直觉思维的基本特征之一就是从整体上把握研究的内容和方向，寻找问题的内在规律，联想整体“转换”。
例：已知x，y∈-π4,π4，a∈R,且x3+sinx-2a=0，
4y3+sinycosy+a=0，求cos(x+2y)的值。
分析：整体观察，不宜着眼于细节分析，直觉联想“转换”思路，将已知条件变形为x3+sinx=2a，(2y)3+sin2y=-2a，则有如下简捷明快之解：
设f(t)=t3+sint，
则f(x)=2a，f(2y)=-2a，
∵f(x)在-π2,π2上单调递增且为奇函数，∴x=-2y，即cos(x+2y)=cos0=1
3直觉启迪、联想“移植”
解题时不失时机地引导学生对所面临的问题进行联想，常能启迪直觉、拓展思维
通过迁移将会顿悟出妙解。
例:求证cosπ5+cos2π5+cos4π5+cos6π5+cso8π5=-1
分析：按常规利用三角和差化积来处理比较繁琐，但引导学生利用物理中的力学原理来解，则大大缩短简化解题过程。
考虑5个大小均为1的共点力Fi(i=1，2…5）
使F1落在x轴上，每相邻两力以夹角为2π5（如图（4））这些力的合力为0，故1+cosπ5+cos2π5+cos4π5+cos6π5+cos8π5=0，从而结论成立。
联想归纳起来有三种：纵向联想、横向联想、逆向联想。联想虽然可以激发人们思维的积极性，提高创造能力，但它有赖于经验和知识的积累。只有长期刻苦努力，熟练掌握知识和技能，联想才能产生智慧的火花。
实际上发散思维，聚合思维，直觉思维三种思维形式是紧密联系、互相交织、有时很难分解。如某学生在做数学题时，目的使想得到正确答案——这是“聚合思维”；当边阅读题目，边产生联想和解题的可能方法时——这是“发散思维”；阅读题目，进一步明确要求后，会产生“哪个方法是可能的，哪个方法是行不通的，哪个答案可能正确，哪个答案可能错误”的想法——这是“直觉思维”，接着自己进行分析证明，尝试解题，直到最后得到并采用这一答案——这又是“聚合思维”。
由上可知，创造性思维的过程，是由功能不同各具优势的“发散思维”、“直觉思维”、“聚合思维”三种思维形式互相补充、互相融合协调发展的辩证统一过程。
参考文献：
［1］何名申创新思维修炼［M］北京：民主与建设出版社，2005
［2］华东师大数学教学［M］上海：华东师大出版社，20068
［3］邵明德催开创造力之花北京：教育科学出版社，1992
［4］华东师大心理学系公共必修心理学教研室心理学［M］上海：华东师大出版社，1992
［5］范彦江创造思维的策略［M］长沙：湖南人民出版社，2002
